周长至少为五的曲面图的 3-列表着色

Grötzsch 证明了每个无三角形的平面图都是 3-可着色的。Thomassen 证明了每个周长至少为五的平面图都是 3-可列表着色的。对于其他曲面，Thomassen 证明了在任何固定曲面上可嵌入的周长至少为五的 4-临界图只有有限个。这意味着对于任何固定曲面上周长至少为五的图，存在一个判定其 3-可着色性的线性时间算法。Dvorak、Kral 和 Thomas 通过证明周长至少为五的 4-临界图的顶点数与其亏格成线性关系，加强了 Thomassen 的结果。他们利用这一结果证明了 Havel 猜想：若平面图中三角形两两相距足够远，则该图是 3-可着色的。关于列表着色，Dvorak 证明了若平面图中长度至多为四的圈两两相距足够远，则该图是 3-可列表着色的。在本文中，我们推广了这些结果。首先，我们证明了周长至少为五的图的 3-列表着色的线性等周界。随后，基于 Postle 和 Thomas 发展的图的双曲族理论，得出了许多新结果。特别是，由此可知在任何固定曲面上，周长至少为五的 4-列表临界图只有有限个，且事实上 4-列表临界图的顶点数与其亏格成线性关系。这为上述结果提供了独立的证明，同时将 Dvorak 的结果推广到具有大边宽的曲面图上，并得出了类似结果：若周长至少为五的图中交叉点两两相距足够远，则该图是 3-可列表着色的。最后，我们将 Thomassen 关于每个周长至少为五的平面图拥有指数级数量的不同 3-列表着色的结果推广到曲面上。具体而言，我们证明了每个拥有 3-列表着色的、周长至少为五的图，都有 $2^{\Omega(n)-O(g)}$ 个不同的 3-列表着色。