柔性列表染色：最大化满足的请求数

柔性列表染色由 Dvo\v{r}\'{a}k、Norin 和 Postle 于 2019 年引入。设 $0 \leq \epsilon \leq 1$，$G$ 是一个图，$L$ 是 $G$ 的一个列表指派，$r$ 是一个定义域为非空 $D\subseteq V(G)$ 的函数，使得对每个 $v \in D$ 有 $r(v) \in L(v)$（$r$ 称为 $L$ 的一个请求）。三元组 $(G,L,r)$ 是 $\epsilon$-可满足的，如果存在 $G$ 的一个正常 $L$-染色 $f$，使得在 $D$ 中至少有 $\epsilon|D|$ 个顶点满足 $f(v) = r(v)$。我们说 $G$ 是 $(k, \epsilon)$-柔性的，如果只要 $L'$ 是 $G$ 的一个 $k$-指派且 $r'$ 是 $L'$ 的一个请求，则 $(G,L',r')$ 是 $\epsilon$-可满足的。Dvo\v{r}\'{a}k 等人证明：若 $d+1$ 为素数，$G$ 是 $d$-退化图，且 $r$ 是定义域为大小为 $1$ 的 $G$ 的请求，则只要 $L$ 是 $(d+1)$-指派，$(G,L,r)$ 就是 $1$-可满足的。本文将此结果推广到二部 $d$-退化图的所有 $d$。柔性列表染色的文献倾向于关注证明对固定图 $G$ 和 $k \in \mathbb{N}$，存在 $\epsilon > 0$ 使得 $G$ 是 $(k, \epsilon)$-柔性的，但自然地，人们试图找到使 $G$ 为 $(k,\epsilon)$-柔性所能取的最大 $\epsilon$。就此，我们改进了 Dvo\v{r}\'{a}k 等人的结果，证明 $d$-退化图是 $(d+2, 1/2^{d+1})$-柔性的。为追求使图成为 $(k,\epsilon)$-柔性的最大 $\epsilon$，我们观察到图 $G$ 对任意 $k$ 都不是 $(k, \epsilon)$-柔性的当且仅当 $\epsilon > 1/ \rho(G)$，其中 $\rho(G)$ 是 $G$ 的 Hall 比，并且我们开启了图 $G$ 的列表柔性数的研究，即使得 $G$ 是 $(k,1/ \rho(G))$-柔性的最小 $k$。我们研究了列表柔性数、列表色数、列表填充数和图退化度之间的关系与联系。