平面图的列表重着色

图 G 的列表赋值 L 是一个函数，为 G 的每个顶点 v 指派一个颜色集合 L(v)。G 的恰当着色 α 若满足对每个 v∈V(G) 有 α(v)∈L(v)，则称为 G 的 L-着色。对 G 的列表赋值 L，G 的 L-重着色图 G(G,L) 是一个图，其顶点对应于 G 的 L-着色，且 G(G,L) 的两个顶点相邻当且仅当它们对应的 L-着色恰好在 G 的一个顶点上不同。平面图中的 d-面是指长度为 d 的面。Dvořák 和 Feghali 猜想对平面图 G 及其列表赋值 L 有：(i) 若对每个 v∈V(G) 有 |L(v)|≥10，则 G(G,L) 的直径为 O(|V(G)|)。(ii) 若 G 无三角形且对每个 v∈V(G) 有 |L(v)|≥7，则 G(G,L) 的直径为 O(|V(G)|)。在最近一篇论文中，Cranston (European J. Combin. (2022)) 证明了 (ii)。本文中，我们证明如下结果。设 G 为平面图，L 为 G 的列表赋值。• 若 G 的每个 3-面至多与两个 3-面相邻，且对每个 v∈V(G) 有 |L(v)|≥10，则 G(G,L) 的直径至多为 190|V(G)|。• 若 G 的每个 3-面至多与一个 3-面相邻，且对每个 v∈V(G) 有 |L(v)|≥9，则 G(G,L) 的直径至多为 13|V(G)|。• 若与任意 3-面相邻的面长度至少为 6，且对每个 v∈V(G) 有 |L(v)|≥7，则 G(G,L) 的直径至多为 242|V(G)|。该结果加强了对 (ii) 的 Cranston 结论。