具有特殊退化条件图中的柔性列表染色

对于给定的 $\varepsilon > 0$，若下述成立，则称图 $G$ 是 $\varepsilon$-柔性 $k$-可选择的：对 $V(G)$ 上任意大小为 $k$ 的颜色列表指派 $L$，若在任意顶点集 $R$ 处请求了列表中的偏好色，则这些请求中至少有 $\varepsilon |R|$ 个被某个 $L$-染色满足。我们考虑若干具有特定退化条件的图类中的柔性可选择性问题。我们刻画了最大度 $\Delta$ 且对某个 $\varepsilon = \varepsilon(\Delta) > 0$ 为 $\varepsilon$-柔性 $\Delta$-可选择的图，回答了 Dvořák、Norin 与 Postle [List coloring with requests, JGT 2019] 的一个问题。特别地，我们证明对任意 $\Delta\geq 3$，任何最大度为 $\Delta$ 且不同构于 $K_{\Delta+1}$ 的图都是 $\frac{1}{6\Delta}$-柔性 $\Delta$-可选择的。我们的分数 $\frac{1}{6 \Delta}$ 在常数因子范围内接近最优可能。我们还证明树宽为 $2$ 的图是 $\frac{1}{3}$-柔性 $3$-可选择的，回答了 Choi 等人 [arXiv 2020] 的一个问题，并给出了树宽为 $k$ 的图成为 $\frac{1}{k+1}$-柔性 $(k+1)$-可选择的列表指派条件。我们进一步证明树深为 $k$ 的图是 $\frac{1}{k}$-柔性 $k$-可选择的。最后，我们引入柔性退化这一概念，它强化了柔性可选择性，并证明除一类已被充分理解的例外之外，最大度为 $\Delta$ 的 3-连通非正则图是柔性 $(\Delta - 1)$-退化的。