不含 4 和 5 圈且三角形接近的平面图是 DP-3-可着色的

Montassier、Raspaud 和 Wang（2006）寻求最小正整数 $d_0$ 和 $d_1$，使得不含 $\{4,5\}$-圈且 $d^{\Delta}\ge d_0$ 的平面图是 $3$-可选择的，且不含 $\{4,5,6\}$-圈且 $d^{\Delta}\ge d_1$ 的平面图是 $3$-可选择的，其中 $d^{\Delta}$ 为三角形间的最小距离。他们证明 $2\le d_0\le 4$ 且 $d_1\le 3$。在本文中，我们证明以下平面图是 DP-3-可着色的：（1）不含 $\{4,5\}$-圈且 $d^{\Delta}\ge 3$ 的平面图是 DP-$3$-可着色的；（2）不含 $\{4,5,6\}$-圈且 $d^{\Delta}\ge 2$ 的平面图是 DP-$3$-可着色的。DP-着色是列表着色的一种推广，因此作为推论有 $d_0\le 3$ 且 $d_1\le 2$。我们实际上证明了更强的结论：某些圈上的每个预着色均可扩展到整个图。