关于多重图线性 Arboricity 的一个 $f$-染色推广

给定多重图 $G$ 及其顶点上的函数 $f : V(G) \rightarrow \mathbb{Z}_{\ge 2}$，图 $G$ 的度-$f$ 子图是一个生成子图，其中每个顶点 $v$ 的度数至多为 $f(v)$。图 $G$ 的度-$f$ 森林数 $a_f(G)$ 是将 $G$ 边染色为度-$f$ 森林所需的最少颜色数。至少对常数 $f$，Truszczy\'nski 猜想对每个多重图 $G$ 有 $a_f(G) \le \max \{\Delta_f(G) + 1, a(G)\}$，其中 $\Delta_f(G) = \max_{v \in V(G)} \lceil d(v)/f(v) \rceil$，$a(G)$ 为 $G$ 的通常森林数。这是 Akiyama、Exoo 和 Harary 提出的线性 Arboricity 猜想的一个强推广。本文中，我们在强意义下反驳了一般多重图的 Truszczy\'nski 猜想。另一方面，推广线性 Arboricity 的已知结果，我们证明了该猜想对具有足够大围长的简单图成立，且对所有简单图渐近成立。更强地，我们在有向图情形下证明了这些部分结果，其中色类须为类比定义的度-$f$ 分支。