强九龍树猜想在 $d \leq 2(k+1)$ 时成立

无向图 $G =(V,E)$ 的树荫度 $\Gamma(G)$ 是将 $E$ 划分为 $V$ 上 $k$ 个森林的最小整数 $k$。Nash-Williams 公式指出 $k = \lceil \gamma(G) \rceil$，其中 $\gamma(G)$ 是 $G$ 的所有满足 $|V_H | \geq 2$ 的子图 $(V_H , E_H )$ 中 $\frac{|E_{H}|}{|V_{H}|-1}$ 的最大值。强九龍树猜想指出，若对于 $k, d \in \mathbb{N}$ 有 $\gamma(G) \leq k + \frac{d}{d+k+1}$，则存在将 $G$ 的边集划分为 $V$ 上 $k + 1$ 个森林的方案，使得其中一个森林的每个连通分量至多包含 $d$ 条边。在此，我们证明了当 $d \leq 2(k +1)$ 时强九龍树猜想成立，这是针对所有满足 $d > k + 1$ 的 $(k, d)$ 的新结果。事实上，我们证明了一个更强的定理：在图可分解为 $k+1$ 个森林的假设下，一种称为 $(k, d)$-稀疏性的较弱稀疏性概念足以保证该分解。这是针对所有 $d > 1$ 的 $(k, d)$ 的新结果，并改进了近期关于过满九龍树定理的结论（针对所有 $d \leq 2(k +1)$ 的 $(k, d)$）。作为推论，我们得出周长为五的平面图可分解为一个森林和一个每个分量至多四条边的森林；通过对偶性，我们得出 5-边连通平面图具有 $\frac{4}{5}$-细树，改进了作者之前关于 5-边连通平面图具有 $\frac{5}{6}$-细树的结果。