含超大额外森林的生成树形图打包

著名的 Nash-Williams 和 Tutte 定理指出，图 $G=(V, E)$ 包含 $k$ 棵边不相交的生成树当且仅当 $\nu_{f}(G) \geq k$，其中 $$\nu_{f}(G):=\min_{|\mathcal{\mathcal{P}}|>1, \text{$\mathcal{P}$ 是 $V(G)$ 的一个划分}}\frac{|E( \mathcal{P})|}{|\mathcal{P}|-1}.$$ 受 Nash-Williams 森林分解定理中分数部分的结构解释启发，Fang 和 Yang 推广了 Nash-Williams 和 Tutte 定理，并证明若 $\nu_{f}(G) > k+ \frac{d-1}{d}$，则 $G$ 包含 $k$ 棵边不相交的生成树和另一森林 $F$，满足 $|E(F)|> \frac{d-1}{d} (|V(G)|-1)$；且若 $F$ 不是生成树，则 $F$ 有一个包含至少 $d$ 条边的分支。本文中，我们给出了该结果的有向图版本；然而，混合图版本仍然开放。