$K_4$-minor-free图中的韧度与生成树

对于整数 $k$，$k$-树是指最大度至多为 $k$ 的树。更一般地，若 $f$ 是顶点上的整值函数，则 $f$-树是指每个顶点 $v$ 的度至多为 $f(v)$ 的树。令 $c(G)$ 表示图 $G$ 的连通分支数。我们证明，若 $G$ 是一个连通的 $K_4$-minor-free 图，且 $$c(G-S) \;\le\; \sum_{v \in S} (f(v)-1) \quad\hbox{for all $S \subseteq V(G)$ with $S \ne \emptyset$}$$ 则 $G$ 有一棵生成 $f$-树。由此推出，若 $G$ 是一个 $\frac{1}{k-1}$-韧的 $K_4$-minor-free 图，则 $G$ 有一棵生成 $k$-树。这些结果强于 Win（关于 $k$-树）以及 Ellingham、Nam 和 Voss（关于 $f$-树）针对一般图的结论。$K_4$-minor-free 图构成平面图的一个子类，且等同于树宽至多为 $2$ 的图，也等同于其块为串并联的图。我们给出例子表明上述不等式不能通过在右侧加 $1$ 而放宽，并表明我们的结果对一般平面图不成立。我们的证明使用了一种将韧度相关信息纳入与顶点和割集相关联的权值中的技术。