颜色 $2$-开关与 $k$ 色邻域 $\lambda$-平衡图

本文考察图的顶点着色中颜色在顶点邻域分布的约束。我们引入颜色 $2$-开关和颜色度矩阵。$k$ 色图的颜色度矩阵是度序列的类比，而颜色 $2$-开关提供一种在保持每个顶点颜色以及每个顶点邻域中颜色多重集的前提下，将 $k$ 色图转换为另一 $k$ 色图的方法。我们证明，两个 $k$ 色图具有相同的颜色度矩阵当且仅当一个可以通过一系列颜色 $2$-开关从另一个生成。在相关工作中，我们通过允许 $k$ 种颜色（而非两种）以及对每个邻域中各颜色顶点数的更灵活控制，推广邻域平衡着色。我们引入三类 $k$ 色、$\lambda$-平衡图，其中顶点邻域中任意两个颜色类的大小最多相差 $\lambda$。这些类别通过邻域平衡条件是施加在开放邻域 $N(v)$、封闭邻域 $N[v]$ 还是允许按顶点变化来区分。对于每一类，定义图容纳平衡着色的最小 $\lambda$ 为其 $\lambda$-平衡数。我们证明了这些类别及其 $\lambda$-平衡数的一般结果。对于 $k=2$，我们引入第四类图，即奇偶平衡图，其中偶度顶点的开放邻域中各颜色顶点数相等，奇度顶点的封闭邻域中各颜色顶点数相等。此外，我们聚焦于 $k=2$ 且 $\lambda \le 1$ 的重要情况，引入红蓝删除技术。我们给出这些四类之间的分离示例，并证明关于路径、环、轮、树、 caterpillar 和完全多部图的平衡数结果，以及关于 caterpillar 的计数结果。