平面图的免冲突染色
摘要
图的免冲突 k-染色为部分顶点分配 k 种不同颜色之一，使得对于每个顶点 v，在 v 及其邻居中存在一种颜色恰好分配给其中一个顶点。此类染色在无线网络、机器人和几何中有应用，并在图论中被广泛研究。本文研究免冲突色数 chi_CF(G)（存在免冲突 k-染色的最小 k）这一自然问题。我们针对闭邻域 N[v]（顶点 v 属于其邻域）和开邻域 N(v)（顶点 v 不属于其邻域）均给出了结果。对于闭邻域，我们证明了著名 Hadwiger 猜想的免冲突版本：若任意图 G 不包含 K_{k+1} 作为子式，则 chi_CF(G) <= k。对于平面图，我们得到了紧最坏情况界：三种颜色有时必要且总是充分的。我们还给出了免冲突染色计算复杂性的完整刻画。判定 chi_CF(G)<= 1 对于平面图 G 是 NP-完全的，而对于外平面图是多项式的。此外，判定 chi_CF(G)<= 2 对于平面图 G 是 NP-完全的，而对于外平面图总是成立。对于在给定颜色数界限 k 下最小化染色顶点数的双准则问题，我们针对外平面图和平面图给出了复杂性与近似方面的完整算法刻画。对于开邻域，我们证明每个平面二部图具有至多四种颜色的免冲突染色；另一方面，我们证明对于 k ∈ {1,2,3}，判定平面二部图是否具有免冲突 k-染色是 NP-完全的。此外，我们确立任意一般平面图具有至多八种颜色的免冲突染色。
引用
@article{arxiv.1701.05999,
title = {Conflict-Free Coloring of Planar Graphs},
author = {Zachary Abel and Victor Alvarez and Aman Gour and Adam Hesterberg and Erik D. Demaine and Sándor P. Fekete and Phillip Keldenich and Christian Scheffer},
journal= {arXiv preprint arXiv:1701.05999},
year = {2018}
}
备注
30 pages, 17 figures; full version (to appear in SIAM Journal on Discrete Mathematics) of extended abstract that appears in Proceeedings of the Twenty-Eighth Annual ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms (SODA 2017), pp. 1951-1963