图的闭 neighborhoods 平衡着色

使用两种颜色（红色和蓝色）对图的顶点集进行着色，如果对于每个顶点，其闭 neighborhoods 中红色和蓝色顶点数相等，则这种着色称为闭 neighborhoods 平衡着色。具有此类着色的图称为 CNBC 图。Freyberg 和 Marr 研究了相关类的 NBC 图，其中将闭 neighborhoods 换为 open neighborhoods。我们关于 CNBC 图和 NBC 图都有一些结果。我们指出 CNBC 图的类不是 hereditary 的，颜色类的大小可以相互任意不同，并且如果颜色类的大小相等，则图为 CNBC 图当且仅当其补图为 NBC 图。当颜色类的大小相等时，我们证明了两个 CNBC 图的 join 是 CNBC 图，以及任意图与 CNBC 图的 lexicographic product 是 CNBC 图。我们证明了任意 CNBC 图与任意 NBC 图的笛卡尔积是 CNBC 图，并刻画了超立方体是 NBC 图还是 CNBC 图的情况，但指出两个 CNBC 图的乘积不一定是 NBC 图。我们证明了 CNBC 图与任意图的 strong product 是 CNBC 图。我们构造了无限多个循环图是 CNBC 图，并给出了当 $n \equiv 2 \pmod 4$ 时，CNBC 树、generalized Petersen 图、三分图循环图和五分图循环图的刻画。