完全图中近似Gallai着色的研究

对于 $t \in \mathbb{N}$，我们称 $E(K_n)$ 的着色为 $\textit{almost}$ $t$-$\textit{Gallai}$，若无两个 rainbow $t$-clique 共享一条边。为了界定Ber​kowitz关于随机图中 clique 计数特征函数模数的引理，我们研究 $E(K_n)$ 中 almost $t$-Gallai 着色中 rainbow $t$-clique 的最大数目 $\tau_t(n)$。对于每个 $t \ge 4$，我们证明 $n^{2-o(1)} \leq \tau_t(n) = o(n^2)$。对于 $t=3$，奇异地，行为截然不同。我们的主要结果表明 $$\left ( \frac{1}{2}-o(1) \right ) n\log n \le \tau_3(n) = O\big (n^{\sqrt{2}}\log n \big )$$，这给出了对简单下界和上界的第一个非平凡改进。我们的证明结合了各种概率方法的应用以及超立方体的 edge-isoperimetric 不等式的推广。