基于拉格朗日函数的一类超图的稳定性与图兰数

给定一族 $r$-一致超图 ${\cal F}$（简记为 $r$-图），${\cal F}$ 的图兰数 $ex(n,{\cal F})$ 是不含 ${\cal F}$ 中任何成员的 $n$ 个顶点上的 $r$-图的最大边数。若超图 $G$ 的某条边包含 $\{u,v\}$，则称对 $\{u,v\}$ 在 $G$ 中被覆盖。给定一个 $r$-图 $F$ 和正整数 $p\geq n(F)$，令 $H^F_p$ 表示如下构造的 $r$-图。将 $F$ 的顶点标记为 $v_1,\ldots, v_{n(F)}$。添加新顶点 $v_{n(F)+1},\ldots, v_p$。对于 $F$ 中未被覆盖的每一对顶点 $v_i,v_j$，添加一组 $r-2$ 个新顶点 $B_{i,j}$ 以及边 $\{v_i,v_j\}\cup B_{i,j}$，其中对所有这样的对 $\{i,j\}$，$B_{i,j}$ 两两不交。我们称 $H^F_p$ 为嵌入了 $F$ 的扩展 $p$-团。对于相对较大的 $F$ 族，我们证明对所有足够大的 $n$，$ex(n,H^F_p)=|T_r(n,p-1)|$，其中 $T_r(n,p-1)$ 是 $n$ 个顶点上的平衡完全 $(p-1)$-部 $r$-图。我们还建立了近极值图的结构稳定性。我们的结果推广或加强了若干早期结果，并给出了一类图兰数被精确确定（对大 $n$）的超图。