不平衡 $\{C_4,\theta_{3, t}\}$-自由二分图的新构造

1979 年，Erd\H{o}s 猜想如果 $m = O(n^{2/3})$，则 $ex(n, m, \{C_4, C_6 \}) = O(n)$。这个猜想被多个论文推翻了，当前已知的最佳界限为 $$c_1n^{1 + \frac{1}{15}} \leq ex(n, n^{2/3}, \{C_4, C_6\}) \leq c_2n^{1 + 1/9}$$ 其中 $c_1, c_2$ 为某个常数。我们工作的一个结果证明了 $$ex(n, n^{2/3}, \{ C_4, \theta_{3, 4} \}) = \Theta(n^{1 + 1/9}).$$ 更一般地，对于每个整数 $t \geq 2$，我们建立了 $$ex(n, n^{\frac{t+2}{2t+1}}, \{ C_4, \theta_{3, t} \}) = \Theta(n^{1 + \frac{1}{2t+1}})$$ 通过表明点集合 $S \subseteq \text{PG}(n,q)$ 中没有 $t+1$ 个点共线即可得到 $\{ C_4, \theta_{3, t} \}$-自由图，其中 PG$(n,q)$ 是维数为 $n$ 上的有限域 $q$ 元素的射影空间。