图的边 substitution 的谱

设$(X,E_X)$和$(V,E_V)$为无环的有限连通图。我们假设$V$具有两个 distinguished 顶点$a,b$以及一个交换$a$和$b$的自同构$\gamma$。$V$的边 substitution是图$X[V]$，其中每个边$[x,y]\in E_X$被替换为$V$的副本，将$x$与$a$、$y$与$b$或反之者识别。（后者选择无关紧要；它产生同构图。）目标是描述$X[V]$的谱，以$X$和$V$的谱为界。我们不考虑邻接矩阵的谱，而是考虑将每行除以行和（顶点度）以归一化的版本（即随机、可逆矩阵）。我们的做法更一般地适用于对应任意正边权重且在$\gamma$下不变的可逆转移矩阵。我们记$P$为$X$上的转移矩阵，$Q$为$V$上的转移矩阵。它们共同诱导出$X[V]$上的矩阵$P_*$。$P_*$谱的主要部分是$X$自然频率对$V$的响应，由$Q$诱导的有理函数的函数方程给出。第二部分来自$Q$的特定特征值（若存在）。最后，还有一个其特征函数在$X上具有节点集的部分。结果取决于诸多问题，例如$X是否具有长度为偶数的圆，以及$Q$在$V\setminus \{a,b\}$上的约束特征值的影响，我们将其分类为4种可能的类型。后者在$P_*$中的乘数问题尤为微妙，需要以输入为基础来确定。