有界度图中的谱测度与支配顶点

一个有界度的图 $G = (V, E)$ 具有一个作用于 Hilbert 空间 $\ell^2(V)$ 上的邻接算子 $A$。在 $A$ 的谱 $\Sigma (A)$ 上存在多种感兴趣的测度。特别地，每个向量 $\xi \in \ell^2(V)$ 在 $\Sigma (A)$ 上定义了位于 $\xi$ 处的局部谱测度 $\mu_\xi$；因此每个顶点 $v \in V$ 定义了向量 $\delta_v \in \ell^2(V)$ 以及与之相关的 $\Sigma (A)$ 上的测度 $\mu_v$。若对所有 $w \in V$，$\mu_w$ 关于 $\mu_v$ 绝对连续（由此可推出对所有 $\xi \in \ell^2(V)$，$\mu_\xi$ 关于 $\mu_v$ 绝对连续），则称顶点 $v$ 是支配的。本文的主要目标是说明各种可能性都会出现：在某些图中，例如顶点传递图中，所有顶点都是支配的；在其他图中，只有部分顶点是支配的；并且存在完全没有支配顶点的图。