$Z$-不变量 Ising 模型中的 $Z$-Dirac 与带质量拉普拉斯算子

考虑椭圆参数 $k$；我们引入一族 $Z^u$-Dirac 算子 $(\mathsf{K}(u))_{u\in\Re(\mathbb{T}(k))}$，将其与 [BdTR17b] 中的 $Z$-带质量拉普拉斯算子相联系，并将 Kenyon [Ken02] 关于离散全纯与调和函数（对应于 $k=0$ 的情形）的结果推广到完整的 $Z$-不变量情形。我们以直接的统计力学方式，证明并解释了 $Z^u$-Dirac 与 $Z$-带质量拉普拉斯算子如何以及为何出现在 $Z$-不变量 Ising 模型中，考虑无限与有限等径图的情形。更精确地，考虑由 $Z$-不变量 Ising 模型产生的 Fisher 图 ${\mathsf{G}}^{\scriptscriptstyle{\mathrm{F}}}$ 上的二聚体模型。我们将 Fisher Kasteleyn 逆算子的系数表示为 $Z^u$-Dirac 逆算子以及 $Z$-带质量格林函数的函数；这尤其证明了 Ising 模型重要观测量的（带质量）随机游走表示。我们证明 Ising 模型的配分函数平方在相差一个常数下等于具有特定边界条件的 $Z$-带质量拉普拉斯算子的行列式，后者是有根生成森林的配分函数。为展示这些结果，我们将 Fisher Kasteleyn 逆算子与由 XOR-Ising 模型产生的二部图 ${\mathsf{G}}^{\scriptscriptstyle{\mathrm{Q}}}$ 上二聚体模型的逆算子相联系，并证明 ${\mathsf{G}}^{\scriptscriptstyle{\mathrm{Q}}}$ 的 Kasteleyn 矩阵与 $Z^u$-Dirac 算子间的矩阵恒等式，从而可得到逆矩阵与行列式。