经由 dimers 的 $Z$-不变 Ising 模型

$Z$-不变 Ising 模型 (Baxter in Philos Trans R Soc Lond A Math Phys Eng Sci 289(1359):315--346, 1978) 定义在等幅图上，并具有依赖于椭圆参数 $k$ 的耦合常数。当 $k=0$ 时模型处于临界状态，随着 $k$ 的变化可覆盖整个温度范围。在本文中，我们研究 Fisher 图上相应的 dimer 模型，从而将我们的论文 (Boutillier and de Tili{\`e}re in Probab Theory Relat Fields 147:379--413, 2010; Commun Math Phys 301(2):473--516, 2011) 扩展至完整的 $Z$-不变情形。我们的主要结果之一是 Kasteleyn 算子逆的一个显式局部公式。其最显著的特征是它是 Boutillier 和 de Tili{\`e}re (2011) 的椭圆推广：它涉及一个局部函数以及 Boutillier 等人 (Invent Math 208(1):109--189, 2017) 引入的有质量离散指数函数。这特别表明，$Z$-不变性而非临界性才是获得局部表达式的核心。随后我们计算渐近展开式，并推导出自然 Gibbs 测度的显式局部表达式。我们证明了 Ising 模型自由能的局部公式。我们还证明了该自由能在相差常数的意义下等于 Boutillier 等人 (2017) 的 $Z$-不变生成森林的自由能，并推导出这两个模型在 $k$ 上具有相同的二阶相变。接下来，我们证明了该模型的自对偶关系，将 Baxter 的结果扩展至所有等幅图。在最后一部分中，我们证明了对应于该 $Z$-不变 Ising 模型 XOR 版本的二部图上 dimer 模型的显式局部表达式。