方格上的临界伊辛模型在多项式时间内混合

伊辛模型被广泛认为是统计物理中研究最深入的自旋系统模型。本文关注其动态（随机）版本——Glauber 动力学，该动力学于 1963 年提出，现已成为采样伊辛测度的最流行方法。过去三十年的深入研究已对 $\Z^2$ 上动力学的谱隙有了严格理解，但临界点处除外。虽然伊辛模型的临界行为长期以来一直是物理学家关注的焦点，但数学家直到最近才随着 SLE、CLE 以及研究共形不变系统的新工具的出现，对其临界几何有了理解。静态模型与动态模型之间存在丰富的相互作用。在伊辛模型的静态相变点，动力学被推测会发生临界减速：在高温下，逆间隙为 O(1)；在临界 $\beta_c$ 处，逆间隙与边长呈多项式关系；在低温下，逆间隙与边长呈指数关系。一系列开创性论文验证了 $\Z^2$ 上的这一行为，但 $\beta=\beta_c$ 处除外，其行为仍是一个具有挑战性的开放问题。在此，我们建立了临界混合的第一个严格多项式上界，从而确认了 $\Z^2$ 上伊辛模型的临界减速。即，我们证明，在具有任意（例如固定、自由、周期性）边界条件的有限盒子上，$\beta=\beta_c$ 处的逆间隙与边长呈多项式关系。证明利用了近期对伊辛模型临界 Fortuin-Kasteleyn 表示标度极限的理解，以及马尔可夫链分析中的经典工具。