树上临界伊辛模型的混合时间与高度呈多项式关系

在格点伊辛模型的热浴 Glauber 动力学中，物理学家认为连续时间链的谱隙表现出以下行为。对于某个临界逆温度 $\beta_c$，逆隙在 $\beta < \beta_c$ 时有界，在 $\beta = \beta_c$ 时与表面积呈多项式关系，在 $\beta > \beta_c$ 时与表面积呈指数关系。这已在 $\Z^2$ 上得到证明，但临界情况除外。迄今为止，唯一确认临界行为的底层几何结构是完全图。最近，正则树（也称为 Bethe 格点）上伊辛模型的动力学得到了深入研究。已确定逆隙在 $\beta < \beta_c$ 时有界，在 $\beta > \beta_c$ 时呈指数增长，其中 $\beta_c$ 是临界自旋玻璃参数，树高 $h$ 扮演表面积的角。在这项工作中，我们通过证明在临界状态下逆隙确实与 $h$ 呈多项式关系，完善了 $b$ 叉树上伊辛模型逆隙的图景。我们的多项式界的次数不依赖于 $b$，而且这一结果在任何边界条件下都成立。我们还获得了链混合时间的类似界。此外，我们研究了近临界行为，并证明对于 $\beta > \beta_c$，逆隙和混合时间均为 $\exp[\Theta((\beta-\beta_c) h)]$。