Bethe 格子上铁磁 Ising 模型的临界单臂指数

我们考虑正则树（Bethe 格子）上的铁磁最近邻 Ising 模型，该模型在无外磁场时会发生相变是众所周知的。模型在临界温度下的行为可用各种临界指数描述；其中之一是临界单臂指数 $\rho$，它刻画了（根）磁化的衰减速率。我们在本工作中分析的关键量是在有限子树上根自旋的热期望，其中期望值是对与相应有限体积哈密顿量在固定边界条件下相关的概率测度取的。自发磁化是该热期望在根与边界距离（即子树高度）中的极限，已知其在临界点处消失。我们感兴趣的是用临界单臂指数 $\rho$ 对该收敛速率的定量分析。因此，我们严格证明，在临界温度且存在正边界条件下根自旋的热期望 $\langle\sigma_0\rangle^+_n$ 以 $\langle\sigma_0\rangle^+_n\approx n^{-1/2}$ 衰减（在相当精确的意义下），其中 $n$ 为树的高度。这确立了正则树上 Ising 模型的单臂临界指数（$\rho=1/2$）。