临界二维Potts模型的混合时间

我们研究了在临界 $\beta_c(q)$ 下，$n\times n$ 盒子上 $q$ 态 Potts 模型的动力学方面。热浴 Glauber 动力学和诸如 Swendsen--Wang 的簇动力学（其规避低温瓶颈）均预期在周期边界条件下经历“临界变慢”：在次临界区域为 $O(1)$ 的逆谱隙，在临界时对于 $1< q \leq 4$ 应为 $n$ 的多项式，而对于 $q>4$ 应为 $n$ 的指数，这与预测的不连续相变一致。这一点已由第二作者与 Sly 对 $q=2$（Ising 模型）证实，并由 Borgs 等人对足够大的 $q$ 证实。在此我们展示，对于环面上的临界 Potts 模型，如下结论成立：对于 $q=3$，Glauber 动力学的逆隙为 $n^{O(1)}$；对于 $q=4$，其至多为 $n^{O(\log n)}$；而对于相共存区中每个 $q>4$，Glauber 动力学和 Swendsen--Wang 动力学的逆隙均为 $n$ 的指数。对于自由或单色边界条件及大 $q$，我们展示临界处的动力学快于环面上（不同于 Ising 模型，其中自由/周期边界条件在所有温度下引发相似的动力学行为）：Swendsen--Wang 动力学的逆隙为 $\exp(n^{o(1)})$。