格点上 Swendsen-Wang 动力学的截断现象

我们研究了格点上 $q$ 态 Potts 模型的 Swendsen-Wang 动力学。Swendsen-Wang 动力学作为经典单点 Glauber 动力学的替代算法被提出，是一种基于 Potts 模型的随机簇表示一次性重新着色多个顶点的非局部马尔可夫链。在本工作中，我们导出了关于混合时间的足够强的界，证明了在足够高的温度下格点上的 Swendsen-Wang 动力学表现出从“未混合”到“充分混合”的急剧转变，这被称为截断现象。特别地，我们确立了在足够高的温度下，环面 $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^d$ 上的 Swendsen-Wang 动力学在时刻 $\frac{d}{2} \left( -\log (1-\gamma) \right)^{-1} \log n$ 发生截断，其中 $\gamma(\beta)$ 是无限体积动力学的谱隙。