平均场Swendsen-Wang动力学中的指数级慢混合

针对Potts模型的Swendsen-Wang动力学于20世纪80年代末被提出，作为单点热浴动力学的替代方案，其中全局更新允许该MCMC采样器在亚稳态之间切换并理想地更快混合。Gore与Jerrum（1999）发现该动力学实际上可能表现出慢混合：他们证明，对于在$n$个顶点完全图上临界点$\beta_c(q)$处具有$q\geq 3$种颜色的Potts模型，Swendsen-Wang动力学有$t_{\mathrm{mix}}\geq \exp(c\sqrt n)$。同一下界被Galanis等人（2015）扩展到$\beta_c$周围的临界窗口$(\beta_s,\beta_S)$，也被Blanca与Sinclair（2015）扩展到相应的平均场FK模型。两种情况下，已知上界为$t_{\mathrm{mix}} \leq \exp(c' n)$。在此我们证明混合时间确实关于$n$是指数级的：即当$q\geq 3$且$\beta\in(\beta_s,\beta_S)$时，Swendsen-Wang动力学有$t_{\mathrm{mix}} \geq \exp (cn)$，且对于平均场FK模型的相关MCMC采样器，当$q>2$时同样成立该界。