临界二维随机簇模型的拟多项式混合

我们研究了环面 $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^2$ 上随机簇(FK)模型的 Glauber 动力学，参数为 $(p,q)$，其中 $q \in (1,4]$ 且 $p$ 为临界点 $p_c$。该动力学被认为经历临界慢化，其连续时间混合时间从 $p\neq p_c$ 时的 $O(\log n)$ 过渡到 $p=p_c$ 时关于 $n$ 的幂律。Blanca 和 Sinclair 在 $p\neq p_c$ 时验证了这一点，而在临界 $p=p_c$ 处，除特殊整数点 $q=2,3,4$（此时模型对应于 Ising/Potts 模型）外，已知的混合上界是指数级于 $n$ 的。在此，我们证明了对于所有 $q\in (1,4]$ 在 $p=p_c$ 时的上界为 $n^{O(\log n)}$，其中一个关键要素是限制在临界处的嵌套长程跨越的数量。