矩阵几何中的 Dirac 算子

我们综述 Riemannian 几何中 Dirac 算子的构造及其性质，并说明热核迹的渐近展开如何确定 Dirac 算子的谱不变量及其指标。我们还指出 Einstein-Hilbert 泛函可作为 Dirac 算子前两个谱不变量的线性组合得到。接下来，我们报告先前将 Dirac 算子概念推广到矩阵几何情形的尝试，此时取代 Riemannian 度规的是一个矩阵值自伴对称二阶张量，起着“非交换”度规的作用。我们构造了不变的一阶与二阶自伴椭圆偏微分算子，可称为“非交换”Dirac 算子与非交换 Laplace 算子。我们为相应的非交换 Laplace 型算子构造了热核并计算其前两个谱不变量。这两个谱不变量的线性组合给出一个泛函，可视为 Einstein-Hilbert 作用量的非交换推广。