流形上椭圆算子的谱渐近

研究作用在黎曼流形上向量丛光滑截面上的自然几何椭圆偏微分算子的谱性质是全球分析、微分几何和数学物理中的核心主题。通常不直接研究微分算子 $L$ 的谱，而是研究其谱函数，即算子某些函数的谱迹，例如谱 zeta 函数 $\zeta(s)=\Tr L^{-s}$ 与热迹 $\Theta(t)=\Tr\exp(-tL)$。热半群 $\exp(-tL)$ 的核 $U(t;x,x')$，称为热核，在量子场论与量子引力、指标定理、非交换几何、可积系统与金融数学中起着主要作用。我们综述谱渐近研究的一些近期进展。我们研究更一般的谱函数，如 $\Tr f(tL)$，我们称之为量子热迹。此外，我们定义依赖于微分算子特征值且依赖于特征函数的新不变量，因此包含关于流形几何的远多信息。进而，我们研究一些新不变量，如 $\Tr\exp(-tL_+)\exp(-sL_-)$，其包含两个微分算子的相对谱信息。最后我们展示如何仅用纯代数方法计算两个不同算子半群的卷积。