用于谱 ζ 函数解析延拓的修正热方程

对于 $n$ 维中阶为 $h$ 的椭圆微分算子 $D$，谱 $\zeta$-函数 $\zeta_D(s)$ 在 $\Re s > \frac{n}{h}$ 时可表示为热核 $e^{-t D}$ 上的积分。此处给出 $\zeta_D(s)$ 的替代表达式，涉及修正热方程核 $k_{n,m}$ 的积分，使得该积分在 $s=0$ 附近非奇异，或在 $s=\frac{m}{h}, m<n$ 附近的潜在极点处非奇异。除给出当 $\Re s \leq \frac{n}{h}$ 时 $\zeta_D(s)$ 解析延拓的显式表达式外，这提供了一种研究泛函行列式与 $\zeta_D(s)$ 留数的替代方法，无需显式计算 Seeley-DeWitt 系数来消去热迹中的发散。