有限反射群与拉普拉斯算子的对称延拓

设 $W$ 为与 $\mathbb R^d$ 中根系 $R$ 相关的有限反射群。令 $C_+$ 表示一个正 Weyl 腔。考虑 $\mathbb R^d$ 中关于 $W$ 中反射对称的开子集 $\Omega$。令 $\Omega_+=\Omega\cap C_+$ 为 $\Omega$ 的正部。我们定义拉普拉斯算子 $-\Delta_{\Omega_+}$ 的一族自伴延拓 $\{-\Delta_{\eta}^+\}$,由同态 $\eta\colon W\to \{1,-1\}$ 标记。在这些 $\eta$-拉普拉斯算子的构造中涉及 $\Omega$ 上函数的 $\eta$-对称化。Neumann 拉普拉斯算子 $-\Delta_{N,\Omega_+}$ 包含在内且对应于 $\eta\equiv1$。若 $H^{1}(\Omega)=H^{1}_0(\Omega)$,则 Dirichlet 拉普拉斯算子 $-\Delta_{D,\Omega_+}$ 要么包含在内且对应于 $\eta={\rm sgn}$;否则 Dirichlet 拉普拉斯算子被单独考虑。应用谱函数演算,我们考虑算子对 $\Psi(-\Delta_{N,\Omega})$ 与 $\Psi(-\Delta_{\eta}^+)$,或 $\Psi(-\Delta_{D,\Omega})$ 与 $\Psi(-\Delta_{D,\Omega_+})$,其中 $\Psi$ 是 $[0,\infty)$ 上的 Borel 函数。我们证明了这些算子对中算子的积分核之间的关系,该关系由 $W$ 所支配的对称性给出。