$\mathbb{R}^d$中开反射不变子集上Neumann与Dirichlet拉普拉斯函数的作用反射原理

对于 $\mathbb R^d$ 的关于超平面对称的开子集 $\Omega$，其正部为 $\Omega_+$，我们考虑Neumann/Dirichlet拉普拉斯 $-\Delta_{N/D,\Omega}$ 与 $-\Delta_{N/D,\Omega_+}$。给定 $[0,\infty)$ 上的Borel函数 $\Phi$，我们应用谱函数演算并考虑算子对 $\Phi(-\Delta_{N,\Omega})$ 与 $\Phi(-\Delta_{N,\Omega_+})$，或 $\Phi(-\Delta_{D,\Omega})$ 与 $\Phi(-\Delta_{D,\Omega_+})$。我们证明了这些算子对中算子积分核之间的关系，在 $\Omega_+=\mathbb{R}^{d-1}\times(0,\infty)$ 且 $\Phi_{t}(u)=\exp(-tu)$（$u \geq 0$，$t>0$）的特例中，这些关系即已知的Neumann/Dirichlet热核反射原理。这些关系随后被推广到关于有限个相互正交超平面对称的情形。