非局部扰动下分数阶拉普拉斯算子的狄利克雷热核估计

对于 $d\ge 2$ 和 $0<\beta<\alpha<2$，考虑 $\mathbb{R}^d$ 上的一族非局部算子 $\mathcal{L}^{b}=\Delta^{\alpha/2}+\mathcal{S}^{b}$，其中 $$\mathcal{S}^{b}f(x):=\lim_{\varepsilon\to 0}\mathcal{A}(d,-\beta)\int_{ \{z\in \mathbb{R}^d: |z|>\varepsilon\}} (f(x+z)-f(x))\frac{b(x,z)}{|z|^{d+\beta}}\,dz,$$ 且 $b(x,z)$ 是 $\mathbb{R}^{d}\times\mathbb{R}^{d}$ 上的有界可测函数，对每个 $x,z\in\mathbb{R}^{d}$ 满足 $b(x,z)=b(x,-z)$。这里 ${\cal A}(d, -\beta)$ 是一个归一化常数，使得当 $b(x, z)\equiv 1$ 时 $\mathcal{S}^b=-(-\Delta)^{\beta/2}$。Chen and Wang [arXiv:1312.7594 [math.PR]] 最近证明，当 $b(x, z) \geq -\frac{\mathcal{A}(d, -\alpha)} {\mathcal{A}(d, -\beta)}\, |z|^{\beta -\alpha}$ 时，$\mathcal{L}^b$ 存在唯一的基本解 $p^b(t, x, y)$，它严格为正且连续。核 $p^b(t, x, y)$ 唯一确定一个保守的 Feller 过程 $X^b$，该过程具有强 Feller 性质。Feller 过程 $X^b$ 也是鞅问题 $(\mathcal{L}^b, \mathcal{S}(\mathbb{R}^d))$ 的唯一解，其中 $\mathcal{S}(\mathbb{R}^d)$ 表示 $\mathbb{R}^d$ 上速降函数空间。本文关注离开有界 $C^{1,1}$ 开集 $D\subset \mathbb{R}^d$ 时被杀死的 $X^{b}$ 的子过程 $X^{b,D}$。我们建立了 $X^{b, D}$ 的转移密度函数的显式尖锐双边估计。