受非局部算子扰动的拉普拉斯算子

假设 $d\geq 1$ 且 $0<\beta<2$。我们建立了算子 $\mathcal{L}^b=\Delta+S^b$ 的基本解 $q^b(t, x, y)$ 的存在性与唯一性，其中 $$S^bf(x) := \int_{\mathbb{R}^d} \left( f(x+z) - f(x) - \nabla f(x) \cdot z\mathbb{1}_{\{|z| \leq 1\}} \right) \frac{b(x, z)}{|z|^{d+\beta}} dz$$ 且 $b(x, z)$ 是 $\mathbb{R}^d \times \mathbb{R}^d$ 上的有界可测函数，满足对任意 $x, z\in \mathbb{R}^d$ 有 $b(x, z)=b(x, -z)$。我们证明，若对每个 $x\in\mathbb{R}^d$，几乎处处 $z\in\mathbb{R}^d$ 满足 $b(x, z) \geq 0$，则 $q^b(t, x, y)$ 是严格正的连续函数，并唯一确定一个具有强 Feller 性质的保守 Feller 过程 $X^b$。此外，我们推导了 $q^b(t, x, y)$ 的尖锐双侧估计。