具有奇异系数的临界与超临界 SDE 的弱与强适定性

考虑如下带漂移的时变类稳定算子 $$\mathscr{L}_t\varphi(x)=\int_{\mathbb{R}^d}\big[\varphi(x+z)-\varphi(x)-z^{(\alpha)}\cdot\nabla\varphi(x)\big]\sigma(t,x,z)\nu_\alpha(d z)+b(t,x)\cdot\nabla \varphi(x),$$ 其中 $d\geq 1$，$\nu_\alpha$ 是 $\alpha$-稳定型 L\'evy 测度且 $\alpha\in(0,1]$，$z^{(\alpha)}=1_{\alpha=1}1_{|z|\leq1}z$，$\sigma$ 是 $\mathbb{R}_+\times\mathbb{R}^d\times\mathbb{R}^d$ 上的实值 Borel 函数，$b$ 是 $\mathbb{R}_+\times\mathbb{R}^d$ 上的 $\mathbb{R}^d$ 值 Borel 函数。利用 Littlewood-Paley 理论，我们在尖锐平衡条件 $\alpha+\beta\geq1$ 下建立了与 $\mathscr{L}_t$ 相关的鞅问题的适定性，其中 $\beta$ 是 $b$ 关于 $x$ 的 H\"older 指数。此外，我们还研究了一类由生成元形如 $\mathscr{L}_t$ 的 Markov 过程驱动的随机微分方程。当系数属于某些 Besov 空间时，我们证明了此类方程强解的路径唯一性。