临界情形下多维稳定过程驱动SDE的弱适定性

我们建立了R^d中带加性噪声Z（d≥1）的临界对称稳定过程驱动SDE的弱适定性。即，我们研究驱动过程Z的稳定指数为α=1的情形，这恰好对应于漂移项具有连续有界系数b的阶。特别地，我们涵盖了柱形情形Z_t=(Z^1_t,...,Z^d_t)且Z^1,...,Z^d为独立一维柯西过程。我们的方法依赖于稳定算子的L^p估计并使用微扰论证。1. 问题陈述与主要结果 我们关注证明与如下SDE相关的鞅问题的适定性：(1.1) X_t = x + ∫_0^t b(X_s)ds + Z_t，其中(Z_s)_{s≥0}为定义于某滤波概率空间(Ω, F, (F_t)_{t≥0}, P)（参见[2]及其参考文献）上的对称d维稳定过程，阶为α=1，仅对向量值系数b作连续有界假设：(C) 漂移b: R^d → R^d连续有界。1 上述中，Z的生成元L写为：LΦ(x) = p.v. ∫_{R^d\{0}} [Φ(x+z)−Φ(x)]ν(dz), x∈R^d, Φ∈C^2_b(R^d), ν(dz) = dρ/ρ^2 μ(dθ), z=ρθ, (ρ,θ)∈R_*^+ × S^{d−1}. (1.2)（此处⟨·,·⟩、·（或∥·∥）及|·|分别表示R^d中的内积与范数）。在上式中，ν为Z的Lévy强度测度，S^{d−1}为R^d的单位球面，μ为S^{d−1}上的球面测度。众所周知（如[20]），Z的Lévy指数Φ写为：(1.3) Φ(λ)=E[exp(i⟨λ,Z_1⟩)] = exp(−∫_{S^{d−1}} |⟨λ,θ⟩| μ(dθ)), λ∈R^d，其中μ=c_1 μ，对正常数c_1，即为所谓Z的谱测度。我们对μ作某些非退化条件假设。即引入假设(ND) 存在κ≥1使得 (1.4) ∀λ∈R^d, κ^{−1}|λ| ≤ ∫_{S^{d−1}} |⟨λ,θ⟩| μ(dθ) ≤ κ|λ|。1 此处b的有界性为技术简便而设。经适当局部化论证，我们的方法可应用于具有线性增长的漂移b。