Lévy 型生成元非局部扰动的鞅问题的适定性

设 $L$ 为一 Lévy 型生成元，其 Lévy 测度从下方受控于一个非退化 $\alpha$-稳定 ($0<\alpha<2$) 过程的 Lévy 测度。本文研究算子 $\mathcal{L}_{t}=L+K_{t}$ 的鞅问题，其中 $K_{t}$ 为时变非局部算子，定义为 $$K_{t}f(x):=\int_{\mathbb{R}^{d}\backslash\{0\}}[f(x+y)-f(x)-\mathbf{1}_{\alpha>1}\mathbf{1}_{\{|y|\le1\}}y\cdot\nabla f(x)]M(t,x,dy),$$ 这里对每个 $(t,x)\in \mathbb{R}_+ \times \mathbb{R}^{d}$，$M(t,x,\cdot)$ 是 $\mathbb{R}^{d}\backslash\{0\}$ 上的一个 Lévy 测度。我们证明，若对某个 $0<\beta<\alpha$ 有 $$\sup_{t\geq0,x\in\mathbb{R}^{d}}\int_{\mathbb{R}^{d}\backslash\{0\}}1\wedge|y|^{\beta}M(t,x,dy)<\infty$$ 成立，则 $\mathcal{L}_{t}$ 的鞅问题是适定的。