Lévy过程、鞅、逆鞅与正交多项式

我们研究一类分布可由矩识别的Lévy过程。我们定义了多项式鞅系统 $\left\{ M_{n}(X_{t},t),\mathcal{F}_{\leq t}\right\} _{n\geq 1}$，其中 $\mathcal{F}_{\leq t}$ 是下文定义的一个适当滤子。我们给出了这些鞅的若干性质。其中，我们证明了 $M_{1}(X_{t},t)/t$ 是一个逆鞅以及一个 harness。本文的主要结果涉及以下问题：鞅 $M_{i}$ 乘以适当的确定性函数 $\mu _{i}(t)$ 是否为逆鞅。我们证明，对于 $n\geq 3$，$M_{n}(X_{t},t)$ 是逆鞅（或正交多项式）当且仅当所考虑的Lévy过程是高斯过程（即Wiener过程）。我们还研究了一个更一般的问题：鞅 $M_{i}$（$i=1,\ldots,n$）的线性组合（系数依赖于 $t$）是否有机会成为逆鞅。我们详细分析了 $n=2$ 的情况，列出了所有可能的情形。