非局部算子的扰动

假设 $d\ge 1$ 且 $0<\beta<\alpha<2$。我们建立了一类（可能非对称）非局部算子 $L^b=\Delta^{\alpha/2}+S^b$ 的基本解 $q^b(t, x, y)$ 的存在性和唯一性，其中 $$S^bf(x):=A(d, -\beta) \int_{R^d} ( f(x+z)-f(x)- \nabla f(x) \cdot z 1_{\{|z|\leq 1\}} ) \frac{b(x, z)}{|z|^{d+\beta}}dz$$ 且 $b(x, z)$ 是 $R^d\times R^d$ 上的有界可测函数，对于 $x, z\in R^d$ 满足 $b(x, z)=b(x, -z)$。此处 $A(d, -\beta)$ 是归一化常数，使得当 $b(x, z)\equiv 1$ 时 $S^b=\Delta^{\beta/2}$。我们证明，如果 $b(x, z) \geq -\frac{{\cal A}(d, -\alpha)}{A(d, -\beta)}\, |z|^{\beta -\alpha}$，则 $q^b(t, x, y)$ 是严格正的连续函数，并且唯一确定了一个具有强 Feller 性质的保守 Feller 过程 $X^b$。Feller 过程 $X^b$ 是 $(L^b, {\cal S} (R^d))$ 鞅问题的唯一解，其中 ${\cal S}(R^d)$ 表示 $R^d$ 上的缓增函数空间。此外，推导出了 $q^b(t, x, y)$ 的尖锐双向估计。与梯度扰动形成鲜明对比的是，这些估计针对不同类型的 $b(x, z)$ 表现出不同的行为。本文考虑的模型包含以下特殊情况：设 $Y$ 和 $Z$ 分别是 $R^d$ 上相互独立的（旋转）对称 $\alpha$-稳定过程和对称 $\beta$-稳定过程。随机微分方程 $dX_t=dY_t + c(X_{t-})dZ_t$ 的解具有无穷小生成元 $L^b$，其中 $b(x, z)=| c(x)|^\beta$。