半空间上的点相互作用的共振态与共振展开

本文描述了拉普拉斯算子在半空间 $\Omega =\mathbb R^3_+$ 上给定的以称为 $\delta$ -相互作用的自伴算子的共振态。我们将假设 $\partial \Omega$ 上存在 Dirichlet 或 Neumann 边界条件。与 $\mathbb R^3$ 的情况众所周知不同，这里的共振态构成一个无限集合，本文对其进行完全描述。此外，我们证明了共振态满足修改的 Weyl 定律，并给出半经典渐近分析。最后我们将结果应用于拉普拉斯算子在半空间上带点相互作用所生成的抽象波动和 Schrödinger 动力学的渐近行为。