通过 Lorentzian 谱权对二次范数形能量进行无条件密度估计

对于实二次域 $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$，我们研究范数式能量 $N = S_\zeta^2 - d \cdot S_L^2$，其中 $S_\zeta$ 和 $S_L$ 是带有 $w(\rho) = 2/(\tfrac{1}{4} + \gamma^2)$ 的 Lorentzian 加权零和。我们证明了三个主要结果。(1) 时空谱数据：$N < 0$ 对所有平方自由 $d > 1$ 无条件成立，这是通过显式零计数证明的低lying 零主导定理所致。(2) 有效密度估计：在每个验证的截断水平 $M$ 上，$\mathrm{dens}\{N > 0\} \leq 2\|f_{S_L^{(M)}}\|_\infty \cdot (W_1(\zeta)/\sqrt{d} + \epsilon_M)$，通过 Jacobi--Anger 共振分析无条件建立。在固定 $M$ 时，估计仅在 $d$ 足够大时才具有实质性；$O(1/\sqrt{d})$ 速率需要 $M$ 随 $d$ 增长，这反过来需要我们在谱共振格子上满足计算验证的均匀密度估计，我们在此建立了该估计。(3) 精确渐近：在计算验证的假设下，即无限共振格子 $\Lambda_\infty$ 有有限秩（我们验证其秩为 $0$ 当 $M \leq 20$），则具有精确渐近 $\mathrm{dens}\{N > 0\} = C(d)/\sqrt{d} + o(1/\sqrt{d})$ 成立。对于 $d = 5$，$C(5) = 2\,f_{S_L}(0)\cdot\mathbb{E}[|S_\zeta|] = 0.1193$；常数通过 $L(s,\chi_d)$ 的零点依赖于 $d$，且 $C(d) = O(1/\log d)$ 当 $d \to \infty$。附录 F 对 $L(s,\chi_2)$、$L(s,\chi_3)$、$L(s,\chi_5)$、$L(s,\chi_6)$、$L(s,\chi_7)$、$L(s,\chi_{10})$、$L(s,\chi_{11})$ 和 $L(s,\chi_{13})$ 在 70 位小数处列出 1004 到 1044 个零点，并通过 ARB 区间算术严格认证。