能量次临界非线性薛定谔方程在阈值附近的散射范数估计

我们考虑聚焦能量次临界薛定谔方程。在 Holmer-Roudenko \cite{holmer}、Duyckaerts-Holmer-Roudenko \cite{duyckaerts2}、Akahori-Nawa \cite{akahori}、Fang-Xie-Cazenave \cite{fang}、Guevara \cite{guevara} 以及后来的 Dodson-Murphy \cite{dodson1,dodson2} 和 Arora-Dodson-Murphy \cite{arora} 的早期工作中，他们证明了如果 $H^1$ 初始数据满足 $M(u_0)^{(1-s_c)/s_c}E(u_0)<M(Q)^{(1-s_c)/s_c}E(Q)$ 和 $\| u\|^{(1-s_c)/s_c}_{L^2}\| u\|_{\dot{H}^1}<\| Q\|^{(1-s_c)/s_c}_{L^2}\|Q\|_{\dot{H}^1}$，其中 $Q$ 是基态，那么散射是唯一的动力学行为。在本文中，我们建立了当 $M(u_0)^{(1-s_c)/s_c}E(u_0)$ 趋近于阈值质量-能量阈值 $M(Q)^{(1-s_c)/s_c}E(Q)$ 时散射范数上界的渐近估计，这推广了 Duyckaerts-Merle \cite{duyckaerts} 关于能量临界薛定谔方程（$s_c=1$）的工作。