三次-五次薛定谔模型的热力学极限和$L^\infty$收敛速率

我们研究了三次-五次薛定谔模型的热力学极限，其中区域大小趋于无穷大，固定密度为$\rho= N/|\mathcal{D}|$，这里$N$表示粒子数，$|\mathcal{D}|$表示有界区域$\mathcal{D}\subset\mathbb{R}^d$（$d=1,2,3$）的体积。我们首先证明了热力学极限的存在性，对于$0<\rho\leq \frac{3}{4}$，该极限等于$-\frac{3}{32}$；而对于$\frac{3}{4}< \rho\leq 1$，则等于$-\left(\frac{1}{2}-\frac{\rho}{3}\right)\frac{\rho}{2}$。当$0<\rho<1$且$\mathcal{D}$为球形区域时，我们进一步证明，在缩放之后，三次-五次薛定谔能量的基态将在$L^2\cap L^6$中强收敛到Thomas-Fermi基态。最后，通过开发一种新方法，包括一些迭代技术、一致能量估计和梯度估计，我们得到了$0<\rho<3/4$时基态的$L^\infty$收敛速率。我们相信这种方法适用于其他一般的非线性问题。