基于泊松积分与膨胀函数系的 GCD 和

证明了形如 $\sum_{k,{\ell}=1}^N\frac{(\gcd(n_k,n_{\ell}))^{2\alpha}}{(n_k n_{\ell})^\alpha}$ 的 GCD 和的上界，其中 $(n_k)_{1 \leq k \leq N}$ 是任意互异正整数序列且 $0<\alpha \le 1$；特别是 $\alpha=1/2$ 时的估计解决了 Dyer 和 Harman 于 1986 年提出的一个问题，且这些估计除可能 $\alpha=1/2$ 外均是最优的。证明方法基于将该和识别为多重圆盘上的某种泊松积分；作为副产品，还得到了相关 GCD 矩阵最大特征值的估计。此类 GCD 和的界被用于建立针对有界变差或属于 $\lip12$ 的膨胀函数系的 Carleson--Hunt 型不等式，这一结果进而解决了关于膨胀函数系几乎处处 (a.e.) 行为的两个长期存在的问题：即 $\sum_{k=1}^N f(n_k x)$ 型之和的 a.e. 增长性，以及当 $f$ 为 1-周期且有界变差或属于 $\lip12$ 时 $\sum_{k=1}^\infty c_k f(n_kx)$ 的 a.e. 收敛性。