关于对数型 GCD 和与黎曼 zeta 函数导数的注记

在 [Yan22a] 中，我们定义了所谓的“对数型” GCD 和，并证明了下界 $\Gamma^{(\ell)}_1(N) \gg_{\ell} \left(\log\log N\right)^{2+2\ell}$。我们在本注记中将建立上界 $\Gamma^{(\ell)}_1(N)\ll_{\ell} \left(\log \log N\right)^{2+2\ell}$，这推广了 G\'{a}l 关于 GCD 和的定理（对应于 $\ell = 0$ 的情形）。该结果将通过两种不同方法证明。第一种方法是无条件的。我们建立了当 $\alpha$ 以某些快速率趋于 $1$ 时沿 $\alpha-$线的谱范数的尖锐上界。作为推论，我们得到了对数型 GCD 和的上界。第二种方法是有条件的。我们证明了对数型 GCD 和 $\Gamma^{(\ell)}_1(N)$ 的下界能够产生 1-线上黎曼 zeta 函数导数大值的下界。因此，由 $\left| \zeta^{(\ell)}\left(1+ i t\right)\right|$ 的条件上界，我们得到了对数型 GCD 和的上界。