黎曼ζ函数矩的尖锐条件界

我们证明，在假设黎曼猜想成立的前提下，对于任意固定的 k \geq 0 和所有充分大的 T，有 \int_{T}^{2T} |\zeta(1/2+it)|^{2k} dt \ll_{k} T log^{k^{2}} T。该结果在隐含常数的取值上是尖锐的。我们的证明建立在 Soundararajan 的著名工作之上，他曾在假设黎曼猜想成立的情况下证明，对于任意固定的 k \geq 0 和 \epsilon > 0，有 \int_{T}^{2T} |\zeta(1/2+it)|^{2k} dt \ll_{k,\epsilon} T log^{k^{2}+\epsilon} T。Soundararajan 用一个 Dirichlet 多项式来界定 \log|\zeta(1/2+it)| 并研究其取大值的频率，而我们则用多个 Dirichlet 多项式之和来界定 \log|\zeta(1/2+it)| 并研究它们的联合行为。此外，我们全程直接处理矩，而不是通过大值估计进行过渡。