关于相依随机变量级数收敛性

给定取值于希尔伯特空间的一列对称随机变量 $(X_n)$，一个有趣的开放问题是确定级数 $\sum_{n=1}^\infty X_n$ 几乎必然收敛的条件。对于独立随机变量，众所周知若 $\sum_{n=1}^\infty \mathbb{E}(\|X_n\|^2) <\infty$，则 $\sum_{n=1}^\infty X_n$ 几乎必然收敛。这已被推广到某些相依变量情形（即负相伴随机变量），但在一般的相依变量设定下该问题仍然开放。本文考虑每个变量 $X_n$ 由线性组合 $a_{n,1}Z_1+ \ldots +a_{n,n}Z_n$ 给出的情形，其中 $(Z_n)$ 是单位方差的独立对称随机变量序列，$(a_{n,k})$ 为常数。对于高斯随机变量，这是一般设定。我们得到了 $\sum_{n=1}^\infty X_n$ 几乎必然收敛的一个充分条件，该条件对于 $\sum_{n=1}^\infty \pm X_n$ 在所有（非随机）变号下的几乎必然收敛也是充分的。该结果基于随机变量 $\sup(\|X_1 + \ldots +X_k\|: 1\leq k \leq n)$ 均值的的一个重要界，它推广了经典的 L\'evy 不等式并具有独立的意义。