高维依赖随机变量的对称化

我们为维数 $p$ 且 $p >> n$ 的依赖随机变量集合 $\{x_{t}\}_{t=1}^{n}$ 建立了通用的对称化性质。我们将 $\mathbb{E}\psi (\max_{1\leq i\leq p}|1/n\sum_{t=1}^{n}(x_{i,t} - \mathbb{E}x_{i,t}|)$ 链接到 $\mathbb{E}\psi (\max_{1\leq i\leq p}|1/n\sum_{t=1}^{n}\eta _{t}(x_{i,t} - \mathbb{E}$，其中 $\{\eta _{t}\}_{t=1}^{n}$ 为块状独立随机变量，剩余项基于高维高斯近似（在较高水平上可能不成立）。常规使用 $\eta _{t}(x_{i,t} - \tilde{x}_{i,t})$（其中 $\{\tilde{x}_{i,t}\}_{t=1}^{n}$ 为 $\{x_{i,t}\}_{t=1}^{n}$ 的独立副本）和 Rademacher $\eta _{t}$ 在通用环境下并非必需，尽管可平凡地将 $\mathbb{E}x_{i,t}$ 替换为 $\tilde{x}_{i,t}$。在后者中使用 Rademacher $\eta _{t}$ 时，结果简化为独立情形下的经典对称化。我们对高斯近似在混合和物理依赖设置下的界限进行了界定，从而界定 $\mathbb{E}\psi (\max_{1\leq i\leq p}|1/n\sum_{t=1}^{n}(x_{i,t} - \mathbb{E}x_{i,t}|)$；并将主要结果应用于通用的 Nemirovski（2000）式 $\mathcal{L}_{q}$-最大矩界限 $\mathbb{E}\max_{1\leq i\leq p}|1/n\sum_{t=1}^{n}(x_{i,t} - \mathbb{E}x_{i,t})|^{q}$，其中 $q \geq 1$。