参数函数递增序列最大值的渐近理论

\cite{HillMotegi2017} 提出针对随机数组 $\{\mathcal{X}_{n}(i)$ $:$ $1$ $\leq$ $i$ $\leq$ $\mathcal{L}\}_{n\geq 1}$ 最大值的新一般渐近理论，其中每个 $\mathcal{X}_{n}(i)$ 假定依概率收敛于 $n$ $\rightarrow$ $\infty$。数组维度 $\mathcal{L}$ 允许随样本量 $n$ 增加。现有极值理论论证聚焦于观测数据 $\mathcal{X}_{n}(i)$，并通过限制 $i$ 间依赖性要求 $\max_{1\leq i\leq \mathcal{L}}|\mathcal{X}_{n}(i)|$ 有明确定义的极限律。高维中心极限理论文献假定可由高斯律近似，也限制注意力于观测数据。\cite{HillMotegi2017} 不要求 $\max_{1\leq i\leq \mathcal{L}_{n}}|\mathcal{X}_{n}(i)|$ 有明确定义极限也不可由高斯随机变量近似，且我们不对 $i$ 间依赖性作任何假设。我们将该理论应用于滤波数据，当关注变量 $\mathcal{X}_{n}(i,\theta _{0})$ 未被观测，但观测其样本对应 $\mathcal{X}_{n}(i,\hat{\theta}_{n})$，其中 $\hat{\theta}_{n}$ 估计 $\theta _{0}$。主要结果通过考察高维随机变量的单位根检验和残差白噪声检验来说明。