一类平稳增量 Levy 驱动移动平均的极限定理

本文给出关于平稳增量 Lévy 驱动移动平均的 $k$th 阶增量幂变差的一些新极限定理。在填充（infill）渐近设定下，采样频率趋于零而时间跨度保持固定，渐近理论给出了非常令人惊讶的结果，其（部分）在离散移动平均理论中无对应。更具体地，我们将展示一阶极限定理与收敛模式强烈依赖于给定增量阶数、所考虑的幂 $p>0$、驱动纯跳跃 Lévy 过程 $L$ 的 Blumenthal–Getoor 指数 $\beta \in (0,2)$ 以及核函数 $g$ 在 $0$ 处由幂 $\alpha$ 决定的行为之间的相互作用。一阶渐近理论本质上包含三种情形：稳定收敛到某无限可分分布、遍历型极限定理以及概率收敛到积分随机过程。我们也证明了与遍历型结果相关的二阶极限定理。当驱动 Lévy 过程 $L$ 为对称 $\beta$ 稳定过程时，我们得到两个不同的极限：中心极限定理以及分布收敛到 $(1-\alpha )\beta$-稳定全右偏随机变量。