关于纽结概率比率的普适性

设 $p_n$ 表示在规则三维格点上长度为 $n$ 的自回避多边形的数目，$p_n(K)$ 表示其中纽结类型为 $K$ 的多边形数目。长度为 $n$ 的随机多边形具有纽结类型 $K$ 的概率为 $p_n(K)/p_n$，已知该概率随长度呈指数衰减。关于 $p_n(K)$ 的渐近行为，严格已知的结果很少，但有大量数值证据表明，当 $n \to \infty$ 时，$p_n(K)$ 的增长形式为 $p_n(K) \simeq \, C_K \, \mu_\emptyset^n \, n^{\alpha-3+N_K}$，其中 $N_K$ 是纽结类型 $K$ 的素成分数目。人们相信，熵指数 $\alpha$ 是普适的，而指数增长率 $\mu_\emptyset$ 与纽结类型无关，但随格点变化。振幅 $C_K$ 同时依赖于格点和纽结类型。上述渐近形式意味着，长度为 $n$ 的随机多边形具有素纽结类型 $K$ 相对于具有素纽结类型 $L$ 的相对概率为 $\frac{p_n(K)/p_n}{p_n(L)/p_n} = \frac{p_n(K)}{p_n(L)} \simeq [ \frac{C_K}{C_L} ]$。在热力学极限下，该概率比变为振幅比；它应是普适的，且仅依赖于纽结类型 $K$ 和 $L$。在本快报中，我们研究了简单立方、面心立方和体心立方格点上多边形这些概率比值的普适性。我们的结果支持这些量是普适量的假设。例如，我们估计一个长随机多边形是三叶结的可能性大约是八字结的 28 倍，这与底层格点无关，从而给出了与封闭曲线中纽结类型相关的内禀熵的估计。